Normalform in Scheitelpunktform umwandeln

Ist eine quadratischen Funktion in der Normalform gegeben und man möchte sie in die Scheitelpunktform umwandeln, so geht man wie folgt vor:
  1. Eine quadratische Funktion ist in der Normalform \(f(x)=a\cdot\big( x^2+p\cdot x+q\big)\) gegeben.
  2. Ablesen der Parameter \(a, p\) und \(q\).
  3. Berechnen von \(w=-\frac{p}{2}\).
  4. Berechnen von \(s=a\cdot q-\frac{a\cdot p^2}{4}\).
  5. Scheitelpunktform hinschreiben: \(f(x)=a\cdot (x-w)^2 + s\)
Wie sieht die Scheitelpunktform der Funktion \(f(x)=-4\cdot\big( x^2-2x\big)\) aus?
Es ist \(a=-4\), \(p=-2\) und \(q=0\).
Damit können wir \(w=-\frac{p}{2}=-\frac{-2}{2}=1\) und \(s=a\cdot q-\frac{a\cdot p^2}{4}=-\frac{-4\cdot (-2)^2}{4}=4\) berechnen.
Der Scheitelpunktform lautet \(f(x)=-4\cdot (x-1)^2 +4\).
Es gibt auch einen interaktiven Normalform in Scheitelpunktform Rechner.

Herleitung der Umformung

Wir gehen von der gesuchten Scheitelpunktform aus und formen sie in die Normalform um. \[f(x)=a\cdot (x-w)^2 + s\] \[f(x)=a\cdot (x^2-2xw+w^2) + s\] \[f(x)=ax^2-2axw+aw^2+s\] \[f(x)=a\cdot x^2 + (-2aw)\cdot x+(aw^2+s)\] \[f(x)=a\cdot x^2 + (-2aw)\cdot x+(aw^2+s)\cdot \frac{a}{a}\] \[f(x)=\color{green}{a}\cdot x^2 + (-2\color{green}{a}w)\cdot x+(aw^2+s)\cdot \frac{\color{green}{a}}{a}\] \[f(x)=\color{green}{a}\cdot \big( x^2 + \color{blue}{(-2w)}\cdot x+ \color{red}{(aw^2+s)/a}\big) \] \[f(x)=a\cdot \big( x^2 + \color{blue}{p}\cdot x+\color{red}{q}\big) \] Damit gilt: \[p=-2w\] und \[q=(aw^2+s)/a\] Durch Umformen von \(p=-2w\) erhält man \[w=-\frac{p}{2}\] Durch Einsetzen und Umformen erhält man \[s=aq-\frac{ap^2}{4}\]
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