Scheitelpunktform in Normalform umwandeln

Ist eine quadratischen Funktion in der Scheitelpunktform gegeben und man möchte sie in die Normalform umwandeln, so geht man wie folgt vor:

Eine quadratische Funktion ist in der Scheitelpunktform \(f(x)=a\cdot (x-w)^2 + s\) gegeben.
Ablesen der Parameter \(a, w\) und \(s\). Dabei auf Vorzeichen von \(w\) achten!
Berechnen von \(p=-2\cdot w\).
Berechnen von \(q=\frac{a\cdot w^2+s}{a}\).
Normalform hinschreiben: \(f(x)=a\cdot\big( x^2+p\cdot x+q\big)\).

Wie sieht die Normalform der Funktion \(f(x)=2\cdot (x-1)^2+3\) aus?

Es ist \(a=2\), \(w=1\) und \(s=3\).
Damit können wir \(p=-2w=-2\cdot 1=-2\) und \(q=\frac{w^2+s}{a}=\frac{1^2+3}{2}=2\) berechnen.
Die Normalform lautet \(f(x)=2\cdot\big( x^-2\cdot x+2\big)\).

Es gibt auch einen interaktiven Scheitelpunktform in Normalform Rechner.

Herleitung der Umformung

\[f(x)=a\cdot (x-w)^2 + s\] \[f(x)=a\cdot (x^2-2xw+w^2) + s\] \[f(x)=ax^2-2axw+aw^2+s\] \[f(x)=a\cdot x^2 + (-2aw)\cdot x+(aw^2+s)\] \[f(x)=a\cdot x^2 + (-2aw)\cdot x+(aw^2+s)\cdot \frac{a}{a}\] \[f(x)=\color{green}{a}\cdot x^2 + (-2\color{green}{a}w)\cdot x+(aw^2+s)\cdot \frac{\color{green}{a}}{a}\] \[f(x)=\color{green}{a}\cdot \big( x^2 + \color{blue}{(-2w)}\cdot x+ \color{red}{(aw^2+s)/a}\big) \] \[f(x)=a\cdot \big( x^2 + \color{blue}{p}\cdot x+\color{red}{q}\big) \] Damit gilt: \[p=-2w\] und \[q=(aw^2+s)/a\]

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