Ableitungsregeln von Funktionen

Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion ist durch den Differentialquotienten definiert. Es ist jedoch meist sehr aufwendig und auch schwierig, auf diese Art und Weise eine Ableitung zu Berechnen. Deshalb und um nicht jedes Mal den Differentialquotienten bestimmen zu müssen, gibt es viele Formeln zum Differenzieren bzw. Ableiten von Funktionen. Diese Formeln werden auch Ableitungsregeln genannt. In der nachfolgenden Tabelle sind die wichtigsten Ableitungsregeln aufgelistet.

Ableitungsregel Funktion Ableitungsfunktion
Faktorregel \(f(x)=k\cdot g(x)\) \(f'(x)=k\cdot g'(x)\)
Summenregel \(f(x)=g(x)+h(x)\) \(f'(x)=g'(x)+h'(x)\)
Potenzregel \(f(x)=x^n\) \(f'(x)=n\cdot x^{(n-1)}\)
Kettenregel \(f(x)=g(h(x))\) \(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)
Produktregel \(f(x)=g(x)\cdot h(x)\) \(f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)\)
Quotientenregel \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\) \(f'(x)=\frac{g'(x)h(x)-h'(x)g(x)}{h(x)^2}\)
Mit den hier aufgelisteten Regeln können sehr viele Funktionen abgeleitet werden.

Beispiele und Aufgaben mit Lösungen

Mittels der Potenzregel kann die Funktion \(f(x)=x^5\) abgeleitet werden. Es ist \(f'(x)=5x^4\).
Mittels der Faktorregel und der Potenzregel kann die Funktion \(f(x)=2x^5\) abgeleitet werden. Es ist \(f'(x)=2\cdot 5x^4=10x^4\).
Mittels der Summenregel und der Potenzregel kann die Funktion \(f(x)=x^2+x^4\) abgeleitet werden. Es ist \(f'(x)=2x+4x^3\).
Es ist \(g(x)=\sin (x)\). Die Ableitungsfunktion lautet \(g'(x)=\cos (x)\). Mittels der Produktregel kann die Funktion \(f(x)=x\cdot \sin(x)\) abgeleitet werden. Es ist \(f'(x)=\sin (x)+x\cos(x)\).
Es ist \(g(x)=\sin (x)\). Die Ableitungsfunktion lautet \(g'(x)=\cos (x)\). Mittels der Faktorregel kann die Funktion \(f(x)=7\cdot \sin(x)\) abgeleitet werden. Es ist \(f'(x)=7\cdot \cos(x)\).
Zu den interaktiven Aufgaben → Ableitungsregeln - Übungsaufgaben
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