MathematikMathematik

Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion an einer Stelle \(x_0\) ist durch den Differentialquotienten \[f'(x_0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\] definiert. Es ist jedoch oft sehr aufwendig und auch schwierig, auf diese Art und Weise eine Ableitung zu Berechnen.
Um nicht jedes Mal den Differentialquotienten bestimmen zu müssen, was oft sehr schwierig ist, gibt es viele Formeln zum Differenzieren bzw. Ableiten von Funktionen. Diese Formeln werden auch Ableitungsregeln genannt. Die wichtigsten Ableitungsregeln lauten: Mit den hier aufgelisteten Regeln können viele Funktionen abgeleitet werden.

Beispiele und Aufgaben mit Lösungen

Mittels der Potenzregel kann die Funktion \(f(x)=x^5\) abgeleitet werden. Es ist \(f'(x)=5x^4\).
Mittels der Faktorregel und der Potenzregel kann die Funktion \(f(x)=2x^5\) abgeleitet werden. Es ist \(f'(x)=2\cdot 5x^4=10x^4\).
Mittels der Summenregel und der Potenzregel kann die Funktion \(f(x)=x^2+x^4\) abgeleitet werden. Es ist \(f'(x)=2x+4x^3\).
Es ist \(g(x)=\sin (x)\). Die Ableitungsfunktion lautet \(g'(x)=\cos (x)\). Mittels der Produktregel kann die Funktion \(f(x)=x\cdot \sin(x)\) abgeleitet werden. Es ist \(f'(x)=\sin (x)+x\cos(x)\).
Es ist \(g(x)=\sin (x)\). Die Ableitungsfunktion lautet \(g'(x)=\cos (x)\). Mittels der Faktorregel kann die Funktion \(f(x)=7\cdot \sin(x)\) abgeleitet werden. Es ist \(f'(x)=7\cdot \cos(x)\).
Eventuell sind folgende Aufgaben interessant: